The Textbook of RayTracing @TDU

#define WIDTH   /* 画像の幅 */
#define HIEGHT  /* 画像の高さ */
void raytracing()
{
  int x,y;

  for ( y = 0; y < HEIGHT; ++y )
  {
    for( x = 0; x < WIDTH; ++x )
    {
      /* 画素値ごとの処理 */
    }//for
  }//for

}//void raytracing()
&#91;/c&#93;</div>

<p>簡易化した処理手順を再掲する．</p>

<ol>
<li>視点の位置を決める</li>
<li>スクリーン上の各点(x,y)について以下の処理を行う．

<ol>
<li><span style="color:red;font-weight:bold">視点位置から点(x,y)に向かってレイを飛ばす．</span></li>
<li>そのレイと球が交差するかどうかを調べる．

<ol>
<li>球と交差しない場合，<strong>青を出力する</strong>．</li>
<li>球と交差する場合，<strong>赤を出力する</strong>．</li>
</ol></li>
</ol></li>
</ol>

<p>赤字部分に着目する．<br />
<span style="color:red;font-weight:bold">視点位置</span>は三次元空間上の位置である．<br />
<span style="color:red;font-weight:bold">点(x,y)</span>は，<strong>三次元空間上に置いたスクリーン(画像)中の特定の位置</strong>である．<br /></p>

<p>手順「そのレイと球が交差するかどうかを調べる」では，<strong>視点位置を始点とし，始点から点(x,y)への方向を方向ベクトルとするレイ</strong>と球との交差判定を行う．</p>

<p>実際に画像のすべての画素を埋めていく際に扱う座標は，<strong>画像の左上を(0,0)とするスクリーン座標</strong>なので，
これを三次元空間上の座標にするためには<strong>変換を行う必要がある</strong>．</p>

<p>今回は三次元空間上のスクリーンを，<strong>左上(-1,1,0)，右上(1,1,0)，右下(1,-1,0)，左下(-1,-1,0)</strong>とした幅2.0，高さ2.0の矩形とする(図1)．</p>

<p><img src="wp-content/uploads/2012/05/coordinate_convertion.png" alt="スクリーン座標の変換"><br />
<em>図1. スクリーン座標の変換</em></p>

<p>したがって，スクリーン座標$$(x_{s},y_{s})$$から三次元座標$$(x_{w},y_{w},z_{w})$$への変換は各々以下のようになる．</p>

<div>\(\left\{\begin{array}{lll} \\
x_{w} &amp; = &amp; \frac{2x_{s}}{W-1}-1.0 \\
y_{w} &amp; = &amp; -\frac{2y_{s}}{H-1}+1.0 \\
z_{w} &amp; = &amp; 0 \\
\end{array}\right.\)</div>

<p><br /></p>

<p>$$W,H$$は，それぞれ画像の幅と高さである．</p>

<p>また，視点位置を$$\vec{\bf p_{\cal e}}$$とし，スクリーン座標の三次元空間上の位置を$$\vec{\bf p_{\cal w}}$$とすると，レイの方向ベクトル$$\vec{\bf d_{\cal e}}$$は以下となる．</p>

<p>$$\vec{\bf d_{\cal e}}=\vec{\bf p_{\cal w}}-\vec{\bf p_{\cal e}}$$</p>

<h3>シーン設定</h3>

<p>想定するシーン（視点位置や物体の位置）は以下とする(図2)．</p>

<ul>
<li>視点位置

<ul>
<li>$$\vec{\bf p_{\cal e}}=(0,0,-5)$$</li>
</ul></li>
<li>スクリーン位置

<ul>
<li>左上$$(-1,1,0)$$, 右上$$(1,1,0)$$, 右下$$(1,-1,0)$$, 左下$$(-1,-1,0)$$</li>
</ul></li>
<li>球

<ul>
<li>中心位置$$\vec{\bf p_{\cal c}}=(0,0,5)$$</li>
<li>半径$$radius=1.0$$</li>
</ul></li>
</ul>

<p><img src="wp-content/uploads/2012/05/initial_scene.png" alt="シーン設定"><br />
<em>図2. シーン設定</em></p>

<h3>プログラミングの前に</h3>

<p>後述の，<a href="#toc-10dd900c7a4bb3abe0e761abd8c120fc">課題1-7 レイと球の交差判定</a>で実際にプログラムを作り始めるが，
その前にC言語でベクトルを扱う方法を次節にて解説する．</p>

<h2>ベクトルの扱い</h2>

<p>C言語は様々な算術型をサポートしているがそのなかに三次元のベクトル型は存在しない．<br />
そこで以下のような構造体をベクトルとして使用する小さなライブラリを用意した．</p>

<div>
typedef struct {
  float x,y,z;
} vector_t;

void func()
{
    vector_t vec1 = {0.0f, 1.0f , 0.0f};
    vector_t vec2 = {1.0f, 0.0f , 0.0f};
}

void func()
{
    vector_t vec1 = {0.0f, 1.0f , 0.0f};
    vector_t vec2 = {1.0f, 0.0f , 0.0f};
    vector_t vec3;

    /* 加算 ... 意味的には vec3 = vec1 + vec2 */
    vec3.x = vec1.x + vec2.x;    
    vec3.y = vec1.y + vec2.y;    
    vec3.z = vec1.z + vec2.z;    

    /* 減算 ... 意味的には vec3 = vec1 - vec2  */
    vec3.x = vec1.x - vec2.x;    
    vec3.y = vec1.y - vec2.y;    
    vec3.z = vec1.z - vec2.z;    

    /* スカラー倍と減算 ... 意味的には vec3 = vec1 + 10*vec2  */
    vec3.x = vec1.x - 10*vec2.x;    
    vec3.y = vec1.y - 10*vec2.y;    
    vec3.z = vec1.z - 10*vec2.z;    
}

void func()
{
  vector_t v1 = { /* ...省略... */ };
  vector_t v2 = { /* ...省略... */ };
  float v1v2_dot;

  v1v2_dot = dot(&v1, &v2); /* 内積を計算したい二つのベクトルのポインタを渡す */
}

void func()
{
  vector_t v1 = { /* ...省略... */ };
  vector_t v2 = { /* ...省略... */ };
  vector_t o;

  cross(&o, &v1, &v2); /* ベクトルv1,v2の外積がベクトルoに入る */
}

void func()
{
  vector_t v1 = { /* ...省略... */ };
  float hoge;
  float piyo;

  hoge = norm(&v1);         /* ベクトルv1のノルムが返る */
  piyo = squared_norm(&v1); /* ベクトルv1のノルム^2が返る */
}

void func()
{
  vector_t v1 = { /* ...省略... */ };
  
  normalize(&v1); /* ベクトルv1が正規化される */
}

void func()
{
    vector_t vec1 = {1.0f, 2.0f, 3.0f};
    
    printf("vec1 = %s\n", vector_str(&vec1));
}

void func()
{
   float hoge, piyo, foo, bar, fuga, buzz;

   hoge = SQR(3.14f); /* 3.14の二乗 */
   piyo = 2.71828f;

   foo = MIN(hoge, piyo); /* hogeとpiyoのうち小さい方がfooに入る */
   bar = MAX(hoge, piyo); /* hogeとpiyoのうち大きい方がbarに入る */

   fuga = 1.41421356f;
   buzz = CLAMP(fuga, 0.0f, 1.0f); /* fugaの値は1.0以上なので1.0が返る */

   fuga = -100.0f;
   buzz = CLAMP(fuga, 0.0f, 1.0f); /* fugaの値は0.0以下なので0.0が返る */

   fuga = 0.5f;
   buzz = CLAMP(fuga, 0.0f, 1.0f); /* fugaの値は[0,1]の範囲内なので0.5が返る */
}