The Textbook of RayTracing @TDU

x座標にcos関数，y座標にsin関数を用いる．Processingの三角関数(cos，sin，tan)の引数は度数法(度)ではなく， 弧度法(ラジアン)なので注意すること．円周率が必要ならばPIという定数が利用可能である．

球の数は可変であるため，必要な物体の数だけループしながら物体オブジェクト(Sphere)を生成して， 物体リストに追加していくこととなる．ループ変数の値をXY座標や色相にマッピングすれば所期の結果を得ることが可能である．

物体数を$$N$$とすると，ループ変数の値の範囲は$$[0,N)$$となる．これを区間$$[0,1]$$にマッピングすると上記の変換が容易となる．

setupメソッドの一部

従来の，画像座標$$(x_s,y_s)$$に対応する三次元座標$$\vec{\bf p_w}$$を計算するための変換式をよく見てみよう．

これは書き方を変えれば，以下と同じである．

この式は，X軸正方向の単位ベクトル$$\vec{\bf e_x}$$，とY軸正方向の単位ベクトル$$\vec{\bf e_y}$$を使えば 以下のようにも表現することができないか？

成分ごとに書き出してみよう．

これが何を示しているかというと，いままで$$\vec{\bf p_w}$$として使用していた変換式は，

「$$\vec{\bf p_w}$$の位置は，(原点から)X軸の方向($$\vec{\bf e_x}$$)に$$\frac{2x_s}{W-1}-1$$だけ移動し， かつY軸の方向($$\vec{\bf e_y}$$)に$$\frac{-2y_s}{H-1}+1$$だけ移動した位置である」

という意味であったと言うことである．

つまり，どのような位置でどのような姿勢のスクリーンであっても，スクリーンに沿った直交する一組のベクトル$$\vec{\bf d_x}$$，$$\vec{\bf d_y}$$を 見つけることができれば，$$\vec{\bf p_w}$$の位置を計算することができる，ということである(図6)．

図6. 任意の位置のスクリーン

前述の$$\vec{\bf d_x}$$，$$\vec{\bf d_y}$$は互いに直交する．また，これらはスクリーンに沿ったベクトルであるので，どちらのベクトルも スクリーンの法線方向とも直交する．今分かっているのは，スクリーンの法線方向，すなわち視点から注視点に向かうベクトルのみである． このベクトルに直行する一組のベクトルを探さなければならない．

このためには，ベクトルの外積の性質を利用する．

外積の定義は以下である．

これを見ただけだとよく分からないかも知れないが，ベクトルの外積$$\vec{\bf a}\times\vec{\bf b}$$は， $$\vec{\bf a}$$とも$$\vec{\bf b}$$とも直交するベクトルとなる，という性質がある．

ベクトル$$\vec{\bf a}, \vec{\bf b}$$の外積$$\vec{\bf a}\times\vec{\bf b}$$は， 図7に示すように，ベクトル$$\vec{\bf b}$$をベクトル$$\vec{\bf a}$$に 近づけるときの右ねじの向きのベクトルとなる(左手系の場合)．

この問題ではベクトルの外積計算を2回使う．かつ，決め打ちの上方向ベクトル$$\vec{\bf e_y}=(0,1,0)$$が必要となる．

この問題では，スクリーンの三次元空間における位置が，もともとの幅2.0高さ2.0で，中心が原点にあるXY平面上の矩形ではなくなる．

幅と高さに変化はないが，その中心は視点位置(eyePosition)から注視点(lookAt)の方向に一定距離(screenDistance)だけ離れた位置となり， このスクリーンは視点位置から注視点に向かうベクトルに直交する．言い換えれば，視点位置から注視点に向かうベクトルがスクリーンの法線方向となる(図4)．

まずは，「視点位置から注視点に向かうベクトル」を求めよう．このベクトルを$$\vec{\bf d_f}$$とすると，

となる．次にスクリーン平面に沿った一つ目のベクトル$$\vec{\bf d_x}$$を求めよう．このベクトルはスクリーンの法線方向($$\vec{\bf d_f}$$)と直交する． このベクトルを特定する方法はいくつかありうるが一番単純なのは$$\vec{\bf d_x}$$とY軸正方向の単位ベクトル$$\vec{\bf e_y}=(0,1,0)$$との外積をとることである．

スクリーン平面がどのような方向を向いているかにかかわらず$$\vec{\bf d_x}$$は，$$\vec{\bf d_f}$$の方向を見たときの右方向のベクトルとなる． そして外積の性質から$$\vec{\bf d_x}\bot\vec{\bf d_f}$$が成立する．

次に$$\vec{\bf d_y}$$を探す．このベクトルはスクリーン平面に沿ったベクトルであるので$$\vec{\bf d_y}\bot\vec{\bf d’_f}$$でなければならないし， $$\vec{\bf d_y}\bot\vec{\bf d_x}$$でなければならない．$$\vec{\bf d_y}$$が$$\vec{\bf d’_f}$$にも$$\vec{\bf d_x}$$にも直交するベクトルであるということは…？

$$\vec{\bf d_y}$$は$$\vec{\bf d’_f}$$と$$\vec{\bf d_x}$$の外積である．すなわち，

となる． スクリーン平面がどのような方向を向いているかにかかわらず$$\vec{\bf d_y}$$は，$$\vec{\bf d_f}$$の方向を見たときの上方向のベクトルとなる．

ここで検算をしてみよう．従来の視点位置$$\vec{\bf p_e}=(0,0,-5)$$，注視点$$\vec{\bf p_t}=(0,0,0)$$，スクリーンまでの距離$$m=5$$の場合，$$\vec{\bf d_x}$$や $$\vec{\bf d_y}$$はどのように求まるだろうか．

これを使って$$\vec{\bf d_x}$$と$$\vec{\bf d_y}$$を求めてみる．

$$\vec{\bf d_x}$$と$$\vec{\bf d_y}$$が求まった．この2つのベクトルをよく見てみよう．それぞれX軸方向の単位ベクトル，Y軸方向の単位ベクトルと一致している．

画像座標$$(x_s,y_s)$$に対応する三次元座標$$\vec{\bf p_w}$$は，スクリーンに沿った一組の互いに直交なベクトル $$\vec{\bf d_x}$$と$$\vec{\bf d_y}$$の線形和として求めることができる．

ただし，これはスクリーンが原点にある場合である．スクリーンの中心位置が$$\vec{\bf p_m}$$にある場合は以下となる(図8)．

では，「スクリーンの中心位置$$\vec{\bf p_m}$$」とはいかなる位置か？ヒント3を思いだそう．

幅と高さに変化はないが，その中心は視点位置(eyePosition)から注視点(lookAt)の方向に一定距離(screenDistance)だけ離れた位置となり， このスクリーンは視点位置から注視点に向かうベクトルに直交する．言い換えれば，視点位置から注視点に向かうベクトルがスクリーンの法線方向となる(図4)．

「視点位置から注視点に向かうベクトル」とは$$\vec{\bf d’_f}$$のことである．また，視点位置は$$\vec{\bf p_e}$$であり，スクリーンまでの距離は$$m$$だった． 従って，$$\vec{\bf p_m}$$は以下となる．

全てまとめると，スクリーン上の点の三次元空間における位置$$\vec{\bf p_w}$$は以下のように表現できる．

各記号は以下である．

$$\vec{\bf p_e}$$

視点位置(eyePosition)

$$\vec{\bf p_t}$$

注視点の位置(lookAt)

$$m$$

スクリーンまでの距離

$$\vec{\bf d_f}=\vec{\bf p_t} – \vec{\bf p_e}$$

視点から注視点に向かうベクトル

$$\vec{\bf d’_f} = \frac{1}{|\vec{\bf d_f}|}\vec{\bf d_f}$$

正規化した$$\vec{\bf d_f}$$

$$f_x = \frac{2x_{s}}{W-1}-1.0$$

正規化したX座標(変換したスクリーン座標のX成分)

$$f_y = \frac{-2y_{s}}{H-1}+1.0$$

正規化したY座標(変換したスクリーン座標のY成分)

$$x_s,y_s$$

スクリーン座標

$$W,H$$

スクリーンの幅と高さ

$$\vec{\bf d_x} = \vec{\bf e_y}\times\vec{\bf d’_f} $$

スクリーン右方向のベクトル

$$\vec{\bf d_y} = \vec{\bf d’_f}\times\vec{\bf d_x}$$

スクリーン上方向のベクトル

drawメソッド

Processing3ではsetupメソッド内でsizeメソッドを呼び出す場合， その引数に定数しか使うことができない．

int W = 640;
int H = 480;

void setup()
{
  size(W, H); // error!
}

sizeメソッドに変数を渡す必要がある場合は，以下のようにsettingsメソッド内で 行う必要がある．このメソッドはsetupメソッドよりも前に呼び出されるメソッドである．

int W = 640;
int H = 480;

void settings()
{
  size(W, H); // エラーは出ない
}

void setup()
{
  // size(W, H);
}

方法はいろいろあるが，ここでは指定された幅と高さのうち大きい方が三次元空間中の2.0の長さになるようにする．

指定された出力画像のサイズをチェックして，対応するスクリーン上の大きさを変数として保持する．
画像の幅を$$W$$，画像の高さを$$H$$，スクリーンの幅を$$W_{s}$$，スクリーンの高さを$$H_{s}$$とすると．

$$f_{x}$$, $$f_{y}$$は以下のように変更される．

setupメソッドの一部とdrawメソッド

やや無理矢理だが，上記の円錐の方程式をベクトル方程式にすることもできる．

ベクトル$$\vec{\bf h}$$と，行列$${\bf M}$$は以下である．

$$i$$は虚数単位である．

この方程式と半直線の方程式$$\vec{\bf p}=\vec{\bf s}+t\vec{\bf d}$$を連立すれば交点を求めることができる．

円錐の方程式

に半直線の方程式

を代入する．

計算を楽にするために以下を置く．

以下，$$t$$について整理していく．

$$t$$の係数を以下のように置く．

これで$$t$$に関する単純な二次方程式となる．

$$t$$の根を調べれば交点の有無と位置が分かる．

円錐の方程式

に半直線の方程式

を代入する．

計算を楽にするために$$\vec{\bf m} = \vec{\bf s} -\vec{\bf p_c}-\vec{\bf h}$$と置き，$$t$$について整理する．

$$t$$の係数を以下のように置く．

これで$$t$$に関する単純な二次方程式となる．

※ Processingには行列や複素数を扱う機能はないので，実装上は$$A,B,C$$はそれぞれ成分ごとの計算式に展開する必要がある(その課程で虚数単位は消えるはず)．

「交差判定の整理」で述べたように，新たな形状(ここでは円錐)を導入するには Shapeクラスのサブクラスを作りtestIntersectionメソッドをオーバーライドすれば良い．

円錐を表すクラスConeを導入しよう．以下のようなクラスとなる．

class Cone extends Shape 
{
  public PVector center;
  public float radius;
  public float height;
  
  public Cone(){ this(new PVector(0,0,0), 1, 1); }
  public Cone(PVector c, float r, float h)
  {
    center = c.copy();
    radius = r;
    height = h;
  }
  
  public IntersectionPoint testIntersection(Ray ray)
  {
    // 実装せよ．
  }
}

testIntersectionメソッドを実装してこのクラスを完成させればよい．

Coneクラスの実装

上記の円柱の方程式をベクトル方程式にすることもできる．

行列$${\bf M}$$は以下である．

この方程式と半直線の方程式$$\vec{\bf p}=\vec{\bf s}+t\vec{\bf d}$$を連立すれば交点を求めることができる．

円柱の方程式

に半直線の方程式

を代入する．

計算を楽にするために以下を置く．

以下，$$t$$について整理していく．

$$t$$の係数を以下のように置く．

これで$$t$$に関する単純な二次方程式となる．

$$t$$の根を調べれば交点の有無と位置が分かる．

円柱の方程式

に半直線の方程式

を代入する．

計算を楽にするために$$\vec{\bf m} = \vec{\bf s}-\vec{\bf p_c}$$と置き，$$t$$について整理する．

$$t$$の係数を以下のように置く．

これで$$t$$に関する単純な二次方程式となる．

※ Processingには行列を扱う機能はないが，$$M$$はy成分を単にゼロにする作用を持つ行列なので，少し手を加えれば上式をそのまま実装することができる．

「交差判定の整理」で述べたように，新たな形状(ここでは円柱)を導入するには Shapeクラスのサブクラスを作りtestIntersectionメソッドをオーバーライドすれば良い．

円柱を表すクラスCylinderを導入しよう．以下のようなクラスとなる．

class Cylinder extends Shape 
{
  public PVector center;
  public float radius;
  public float height;
  
  public Cylinder(){ this(new PVector(0,0,0), 1.0, 1.0); }
  public Cylinder(PVector c, float r, float h)
  {
    center = c.copy();
    radius = r;
    height = h;
  }
  
  public IntersectionPoint testIntersection(Ray ray)
  {
    // 実装せよ
  }
}

testIntersectionメソッドを実装してこのクラスを完成させればよい．

Cylinderクラスの実装

フォグを実装する場合，交点の位置で計算された色とフォグ色とで線形補間を行うのが最も簡単な実現方法である(もちろん他の補間方法もあり得る)．

フォグを考慮した出力色(放射輝度)$$R’_{r}$$は以下のように計算すればよい．

各記号は以下である．

$$R_r$$

交点の位置で計算された放射輝度

$$R_{fog}$$

フォグ色

$$\vec{\bf p_a}$$

視線と物体の交点位置

$$\vec{\bf p_e}$$

視点位置

$$g_{near}$$

フォグをつける最小の距離

$$g_{far}$$

フォグをつける最大の距離

Sceneクラスに以下のような変更を加え，rayTraceメソッドでこれらを使用する．

class Scene
{
  public ArrayList<Shape> shapes;
  public ArrayList<LightSource> lightSources;
  public FColor ambientIntensity;
  
  public boolean useFog;  // フォグを使うかどうか
  public float fogNear;   // フォグをつける最小の距離
  public float fogFar;    // フォグをつける最大の距離
  public FColor fogColor; // フォグに使う色
  
  public Scene()
  {
    shapes = new ArrayList();
    lightSources = new ArrayList();
    ambientIntensity = new FColor(0.01f, 0.01f, 0.01f);
    
    useFog = false;           // デフォルトではフォグを使わない．
    fogNear = 0;              // 距離はどちらも，
    fogFar = 0;               // とりあえず0にしておく．
    fogColor = new FColor(0); // 色も黒にしておく．
  }
// ..以下略..

rayTraceメソッド

この課題は二つの機能の合成である．

• 陰影を離散化する
  • 拡散反射光の輝度も鏡面反射光の放射輝度もベクトルの内積に依存していることを利用する．
  • ベクトルの内積の値を離散化すると不連続な陰影を得ることができる．
• 輪郭をつける
  • 交点が物体の輪郭に近いときに一定の色を算出するようにすればよい．
  • 輪郭に近いかどうかは，面の法線ベクトルと視線ベクトルのなす角を利用する．

連続的な値を離散化する方法はいくつかある．例えば以下のような式が使える．

拡散反射光や鏡面反射光の計算に使う内積の値を$$A$$とする．トゥーンシェーディングを実現するために加工した$$A$$の値を$$A’$$とすると，以下のようになる．

各記号は以下である．

$$N_t$$

陰影の段階の数(たとえば3なら三段階の陰影となる)

$$\lceil x \rceil$$

ceil関数．$$x$$以下で最も大きい整数を返す．

$$cos^{-1}(x)$$

余弦関数の逆関数(acos関数)

面の法線ベクトルと視線ベクトルのなす角が90度に近いとき輪郭であるとしてあつかえばよい(図17)．

図17. 法線ベクトルと視線ベクトル

このために面の法線ベクトルと視線ベクトルのなす角を直接求めてもよいが，この2つのベクトルの内積を利用するのが簡単である． 輪郭を考慮した放射輝度(色)$$R’_r$$の計算は以下のようになる．

各記号の意味は以下である．

$$R_r$$

交点の位置で計算された放射輝度

$$R_t$$

輪郭の色

$$q$$

輪郭の太さ(内積値のしきい値)

$$\vec{\bf n}$$

面の法線方向ベクトル(ただし，$$\left|\vec{\bf n}\right| \le 1$$)

$$\vec{\bf d_e}$$

視線方向ベクトル(ただし，$$\left|\vec{\bf d_e}\right| \le 1$$)

Sceneクラスに以下のような変更を加え，rayTraceメソッドでこれらを使用する．

class Material 
{
  public FColor ambientReflectance;
  public FColor diffuseReflectance;
  public FColor specularReflectance;
  public float shininess;
  
  public boolean useToon;         // トゥーンシェーディングを使うかどうか
  public int toonLevel;           // 陰影の段階
  public float toonEdgeThickness; // 輪郭の太さ
  public FColor toonEdgeColor;    // 輪郭の色
  
  public Material()
  {
    ambientReflectance  = new FColor(0.01f, 0.01f, 0.01f);
    diffuseReflectance  = new FColor(0.69f, 0.69f, 0.69f);
    specularReflectance = new FColor(0.30f, 0.30f, 0.30f);
    shininess = 8;    
    
    useToon = false;               // デフォルトではトゥーンシェーディングを使用しない．
    toonLevel = 0;                 // その他のパラメータも
    toonEdgeThickness = 0;         // とりあえず
    toonEdgeColor = new FColor(0); // ゼロにしておく．
  }  
}

drawメソッド